다리 놓기 - 1010

다리 놓기

문제

재원이는 한 도시의 시장이 되었다. 이 도시에는 도시를 동쪽과 서쪽으로 나누는 큰 일직선 모양의 강이 흐르고 있다. 하지만 재원이는 다리가 없어서 시민들이 강을 건너는데 큰 불편을 겪고 있음을 알고 다리를 짓기로 결심하였다. 강 주변에서 다리를 짓기에 적합한 곳을 사이트라고 한다. 재원이는 강 주변을 면밀히 조사해 본 결과 강의 서쪽에는 N개의 사이트가 있고 동쪽에는 M개의 사이트가 있다는 것을 알았다. (N ≤ M)

재원이는 서쪽의 사이트와 동쪽의 사이트를 다리로 연결하려고 한다. (이때 한 사이트에는 최대 한 개의 다리만 연결될 수 있다.) 재원이는 다리를 최대한 많이 지으려고 하기 때문에 서쪽의 사이트 개수만큼 (N개) 다리를 지으려고 한다. 다리끼리는 서로 겹쳐질 수 없다고 할 때 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 그 다음 줄부터 각각의 테스트케이스에 대해 강의 서쪽과 동쪽에 있는 사이트의 개수 정수 N, M (0 < N ≤ M < 30)이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해 주어진 조건하에 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 출력한다.

예제 입력 1

2 2
1 5
13 29

예제 출력 1

1
5
67863915

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► Snippets

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringBuilder sb = new StringBuilder();

        tc = Integer.parseInt(br.readLine());

        for (int i = 0; i < tc; i++) {
            String[] nm = br.readLine().split(" ");
            n = Integer.parseInt(nm[0]);
            m = Integer.parseInt(nm[1]);

            //Dp 생성
            dp = new int[n + 1][m + 1];

            //N 1개일 때 초기화
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                dp[1][j] = j;
                for (int h = 1; h <= n; h++) {
                    dp[h][h] = 1;
                }
            }
            for (int p = 2; p < dp.length; p++) {
                for (int q = 3; q < dp[p].length; q++) {
                    dp[p][q] = dp[p][q - 1] + dp[p - 1][q - 1];
                }
            }
            sb.append(dp[n][m]).append("\n");
        }
        System.out.print(sb.toString().trim());
    }

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◼︎ 시간 소요한 것

점화식 도출

for (int p = 2; p < dp.length; p++) {
    for (int q = 3; q < dp[p].length; q++) {
        dp[p][q] = dp[p][q - 1] + dp[p - 1][q - 1];
    }
}

조합 → 순서를 고려하지 않고, 원소를 선택하는 경우의 수만 고려하는 것이 중요하다. 이것 때문에 생각이 복잡해져서 점화식을 도출해내는 것에서부터 많이 헤맸다.

1. dp[2][3]일 때를 가정한다면,
2. dp[2][2]
   1. 서쪽 N 2개와 동쪽 M의 2개의 다리를 연결하는 경우의 수
3. dp[1][2]
   1. 서쪽 N 1개와 동쪽 M의 2개의 다리를 연결하는 경우의 수
4. 생각 해보면, dp[2][2]일 때 N → M의 두개 중 하나를 선택할 것이다. 그리고 dp[1][2]에서 첫 번째 DP에서 선택되지 않은 (두 개의 경우) 다리 중 하나를 선택할 것이다.
5. 따라서, dp[2][3]는 dp[2][2]와 dp[1][2]를 합한 값이 된다.

언제봐도 초면이고, 이해했다고 생각해도 돌아서면 뭐야 싶은 DP가 점점 풀린다.